62. Unique Paths

Description

There is a robot on an m x n grid. The robot is initially located at the top-left corner (i.e., grid[0][0]). The robot tries to move to the bottom-right corner (i.e., grid[m - 1][n - 1]). The robot can only move either down or right at any point in time.

Given the two integers m and n, return the number of possible unique paths that the robot can take to reach the bottom-right corner.

The test cases are generated so that the answer will be less than or equal to 2 * 10⁹.

Example 1:

• Input: m = 3, n = 7
• Output: 28

Example 2:

• Input: m = 3, n = 2
• Output: 3
• Explanation: From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
  1. Right -> Down -> Down
  2. Down -> Down -> Right
  3. Down -> Right -> Down

Constraints:

• 1 <= m, n <= 100

Submitted Code

import math

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        d, r = (m - 1), (n - 1)     # 아래쪽 이동 횟수, 오른쪽 이동 횟수
        steps = d + r               # 총 이동 수
        c = math.factorial(steps) // (math.factorial(steps - d) * math.factorial(d))
        return c

Runtime: 0 ms | Beats 100.00%
Memory: 19.55 MB | Beats 16.79%

모든 경로는 오른쪽 이동과 아래쪽 이동을 섞은 순서열과 같기 때문에 조합으로 풀 수 있다.

m = 3 (d = 2)
n = 2 (r = 1)

3! / 2!(3 - 2)! = 3

d  d  _
d  _  d
_  d  d

return 3

Other Solutions

1st

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        
        aboveRow = [1] * n            # 첫 번째 행은 경우의 수 전부 1

        for _ in range(m - 1):        
            currentRow = [1] * n      # 다음 행 계산 (첫 번째 열도 항상 1)
            for i in range(1, n):
                currentRow[i] = currentRow[i-1] + aboveRow[i] # 왼쪽에서 오는 경우 + 위에서 오는 경우
            aboveRow = currentRow
        
        return aboveRow[-1]

time complexity: 𝑂()
space complexity: 𝑂()

Dynamic Programming으로 푸는 방법으로, 어떤 칸까지 오는 경우의 수는 위에서 오는 경우 + 왼쪽에서 오는 경우인 것을 이용했다.

m = 3
n = 3

aboveRow    = [1, 1, 1]

currentRow  = [1, _, _]
i=1 → 1 + 1 =     2
i=2 → 2 + 1 =        3

aboveRow    = [1, 2, 3]

currentRow  = [1, _, _]
i=1 → 1 + 2 =     3
i=2 → 3 + 3 =        6

aboveRow    = [1, 3, 6]

return 6